(n, r)-arc

とある、PG(2, q)上の点の集合$ K

(n, r)-arcの性質

PG(2, q)の一部の点の集まりで、この集合のことを$ Kと呼ぶ

点の個数は$ n個。$ |K|=n

あくまでも点についての言及であり、lineについては$ \mathrm{PG}(2, q)の全てを継承する

つまり、lineの本数はPG(2, q)と同様に、常に$ q^2+q+1本

$ P\in Kとすると

つまり、$ Kの中から任意の1点を選び、それを$ Pと名付けるときmrsekut.icon

点$ Pを通るlineは$ q+1本

各lineは、点$ Pを含め高々$ r個の点を含む

$ PG(2,q)全体としては、各lineは$ \theta_2個の点を含むが、$ Kの中では高々$ r個含む、という意味mrsekut.icon

特に$ r = 2のとき n-arcと呼ぶ

つまり、どの3点も同一 line 上にないとき

$ K内の全ての点は、ある1点$ P\in Kを通るline上に全て含まれる

言い方を変えれば、任意の2点同士の間には必ずlineがある

これ、普通にPG(2, q)の性質かmrsekut.icon

なので、$ n\le (r-1)q+rが成り立つ

全点は対等なので、$ P\in Kに成り立つ性質は、残りの点全てに同じように成り立つ

例えば、$ Pを通る1-lineの本数が、$ 1本なら、

1-lineは全体で、$ 1*n本あることになる

なので、1点$ Pのみについて着目すればいい

一方で、$ Q\notin Kについては、

PG(2, q)の性質以外は、対等とは限らない

例えば、↓の3-arcの例では、

2-line, 1-line, 0-lineと交わる点と、

三角形の辺の中点にある3点

1-line, 1-line, 1-lineと交わる点とがある

円の中心の1点

もしかして、補集合もまたarcになるの #??

用語

$ Kと$ i点で交わるlineをi-lineと呼ぶ

もはや定理

$ Kが、$ PG(2,q)のn-arcのとき、2-lineの本数は、$ {}_nC_2本

$ n個の点から2点選ぶと1本のlineが決まるので。

$ Kの中の点同士は全て2-lineでつながっている

n-arcのとき、$ P\in Kを通る1-lineの本数は1

何故なら、

そもそも$ Pを通るlineの総数は$ q+1 ∵PG(2, q)#5fc8ed7a19827000002a2a02

また、$ Pを通る2-lineの総数は$ q本

何故なら、$ P以外の$ Kの点全て($ q個)の間に2-lineが1本ずつあるから

$ {}_qC_1=q本

故に$ q+1-q=1本

例

$ q=2のとき、すなわちファノ平面で見てみると

https://gyazo.com/f0a45f7d465fd3a1074e6a17f6d0cfdc

3-arcは$ \{100,010,001\}

https://gyazo.com/d6632e994fd88b927dc08e794fe58cd9

3点と、7本のline

lineの内訳は

2-lineが3本

三角形の辺

1-lineが3本

0-lineが1本

円

1つのline上には高々2点しかない

4-arcは$ \{100,010,001,111\}

https://gyazo.com/7b3f87d6b3999f6c2330979b0609cb63

4点と、7本のline

lineの内訳は

2-lineが6本

1-lineが0本

0-lineが1本

1つのline上には高々2点しかない

line同士の交点が点になるわけではない

なので、円になってるlineは、どの点とも交わらない0-lineになる